¿Qué es el centrado?

• es un ajuste en la escala de los predictores en torno a un valor central (usualmente el promedio)

¿Para qué?

• porque el valor de los predictores (en su escala original) tiene consecuencias para la predicción que se puede hacer desde un modelo de regresión

Ejemplo centrado

> mydata
              ci    mean_ci  cicent_mean 
         1    90      97          -7        
         2    95      97          -2        
         3    98      97           1        
         4   105      97           8        

• cicent_mean es la variable ci centrada al promedio

Regresión y centrado

• Intercepto: estimación del valor de la variable dependiente cuando el/los predictor/es son 0

Regresión y centrado (2)

• usualmente los predictores se utilizan en su escala original (sin centrar)

• La estimación sin centrar en algunos casos puede llevar a algunos problemas en la interpretación de los parámetros del modelo

• El centrado se implementa restando una constante del predictor (usualmente el promedio)

Ejemplo centrado regresión simple

Datos: puntaje en CI y en una escala de felicidad 1-7

> mydata
    felicidad  ci
1         1     90
2         3     95
3         4     98
4         6     105
lm(formula = felicidad ~ ci)
(Intercept)           ci
-28.5593       0.3305

¿Qué significa el valor del intercepto?

Ejemplo (no) centrado en regresión simple

Ejemplo (no) centrado en regresión simple

Ejemplo centrado regresión simple

> mydata
  felicidad  ci mean_ci cicent_mean cicent_100
1         1  90      97          -7        -10
2         3  95      97          -2         -5
3         4  98      97           1         -2
4         6 105      97           8          5
lm(formula = felicidad ~ cicent_mean)
(Intercept): 3.5000  ; cicent_mean:0.3305
lm(formula = felicidad ~ cicent_100)
(Intercept): 4.4915  ; mydata$cicent_100: 0.3305

Ejemplo centrado en regresión simple - al promedio

Ejemplo centrado en regresión simple -centrado en 100

Ejemplo centrado regresión simple: RESUMEN

• $\beta$ constante en todos los modelos, varía solo intercepto

  • modelo sin centrar: intercepto -28,5, felicidad para alguien con inteligencia 0 (no tiene mucho sentido ...)

• centrado al promedio: 3.5, estimación de la felicidad para alguien con inteligencia promedio

• centrado a 100: 4.49, estimación de la felicidad para alguien con inteligencia 100

Distintos centrados según nivel

• En MLM, las posibilidades de centrado se amplían según la cantidad de niveles que se tengan

• Tomando como referencia dos niveles, el centrado de los predictores de nivel uno puede tomar 2 formas principales:

  • a la gran media o promedio general (CGM - centered grand mean)

  • al promedio al interior (within) de grupos/clusters (CWC - centered within clusters)

(nomenclatura Enders & Tofighi, 2007)

Distintos centrados según nivel

• El CGM (a la gran media) es equivalente al de regresión simple para el mismo propósito: se resta el valor del promedio general

• En el CWC (a la media grupal) se resta el promedio del grupo (es decir, para cada grupo) en lugar de la gran media

Distintos centrados según nivel

• A diferencia de regresión simple, las decisiones respecto de centrado afectan más allá del valor del intercepto, influyendo en:

  • valor de $\beta$

  • componentes de la varianza ( ${\tau }_{00},{\tau }_{11},{\tau }_{01})$

  • interacciones entre niveles

• CGM y CWC estiman la relación entre X e Y de distinta manera y producen intepretaciones distintas de los parámetros

Distintos centrados según nivel

• Ejemplo: dataset artificial que maximiza las diferencias entre clusters para mostrar mejor los efectos de los distintos tipos de centrado (Enders & Tofighi, 2007)

  • Variable dependiente: bienestar

  • Variable independiente nivel 1 ( ${\gamma }_{10}$ )= horas de trabajo

  • Variable independiente nivel 2 ( ${\gamma }_{01}$ )= tamaño del grupo

Centrado a la gran media

CGM - centrado a la gran media

• La relación entre las horas de trabajo y bienestar posee componentes a nivel 1 y nivel 2

  • Individuos que trabajan más tienen a tener menor bienestar (L1)

  • Grupos que en promedio trabajan menos poseen menores niveles de bienestar (L2)

• Como en regresión simple, en CGM no se altera la estimación de $\beta$, solo varía la estimación del valor del intercepto ... además de alterar otros parámetros (detalles más adelante)

Centrado al grupo (1)

Comparación con centrado al grupo

Correlaciones entre especificaciones de centrado

• La correlación entre variables no varia entre puntajes brutos y centrados CGM

• El CWC crea una variable distinta, y por tanto correlaciona distinto con otras

• La variable CGM correlaciona tanto con predictores de nivel 1 como de nivel 2 (contiene en su covariación una dimiension between)

• La variable CWC correlaciona 0 con predictores de nivel 2 (porque su varianza a nivel 2 es 0)

En términos de regresión:

Regresión multinivel y centrado

• OLS puede verse como una combinación ponderada de los coeficientes between y within clusters

• En CGM, ${\gamma }_{10}$ es una mezcla de asociación within y between:

  • “the hierarchical estimator under grand-mean centering is an inappropriate estimator of the person-level [i.e., Level 1] effect. It too is an uninterpretable blend: neither ${\beta }_w$ nor ${\beta }_b$” (Raudenbush and Bryk, 2002, p. 139).

Regresión multinivel y centrado

En CWC (1):

• No contiene variación entre clusters y por lo tanto no correlaciona con variables de nivel 2

• El intercepto se interpreta como el promedio no ajustado del promedio de los clusters

• Por lo tanto, con predictores CWC, ${\gamma }_{00}$ es equivalente al del modelo nulo

En CWC (2):

• En CWC la pendiente corresponde a la regresión within cluster, es un estimador “puro” de la relación nivel 1 entre x e y

• La estimación de ${\tau }_{00}$ con un predictor CWC cuantifica la varianza de los promedios no ajustados; por lo tanto debería ser similar a la de un modelo incondicional (sin predictores)

Centrado y 4 posibles focos de investigación

1. Predictor de nivel 1

2. Predictor de nivel 2

3. Comparar la influencia de un predictor a distintos niveles

4. Efectos de interacción

1. Predictor de nivel 1

Se recomienda CWC

• Estimador “puro” de efectos nivel 1

• Estimación más adecuada de la varianza de la pendiente

• Sustantivamente: la posición relativa respecto del grupo es un determinante relevante para los individuos (comportamientos, actitudes, etc.)

2. Predictor de nivel 2

• Si solo hay predictores de nivel 2, seguir recomendaciones de centrado de OLS

• Cuando hay predictores de nivel 1, se recomienda CGM, ya que como contiene varianza between ajusta la estimación de los predictores de nivel 2

• Ej: Enders & Tofighi Tabla 2, ver ajuste de predictor de tamaño (SIZE) cuando HOURS es CGM en lugar de CWC

3. Predictores en ambos niveles

• Caso de modelos contextuales o composicionales

• Requiere usar los puntajes individuales y los promedios de los clusters

• Por lo tanto se requiere descomponer la varianza de la pendiente en within y between,

• El objetivo es saber si ${\gamma }_{01}$ es significativo y distinto de ${\gamma }_{10}$, es decir, si hay un efecto del grupo más allá del efecto individual

• Al estar presentes los promedios de los clusters, ${\gamma }_{10}$ es equivalente para ambos centrados (CGM=CWC), ya que CGM se encuentra parcializado de los promedios grupales

• Por lo tanto, dos vías equivalentes para evaluar esto:

  • CWC: restar ambos coeficientes y ver si la diferencia es significativa

  • CGM: si ${\gamma }_{01}$ es significativo implica que la diferencia es significativa

• Para el caso de CWC: ${\gamma }_{10}-{\gamma }_{01}=-.608-.294=.315$

• Para CGM: ${\gamma }_{01}=.315$ (equivalente a la diferencia con CWC), y es significativo.

4. Interacción entre niveles

• La estimación CGM de ${\gamma }_{11}$ (coeficiente de interacción) es una mezcla poco interpretable de interacciones a ambos niveles

• CWC desacopla las interacciones

• Por lo tanto, se recomienda CWC en interacciones entre niveles